چکیده:

نظر به آنکه در دهه اخیر بسیاری از مسائل بهینه سازی با استفاده از روش کارآمد برنامه ریزی نیمه معین (SDP)حل می شوند،بر آن دیدیم تا گزارشی از مفاهیم مقدماتی آن را ارائه کنیم.در این مجموعه سعی شده است تا عناوین اصلی مساله برنامه ریزی خطی نیمه معین به بحث گذاشته شود.

در آغاز ساختمان و مفاهیم کلیدی مساله برنامه ریزی خطی(LP) بازنگری شده و سپس مساله برنامه ریزی نیمه معین معرفی شده است.این عمل در ابتدای متن گزارش به دلیل وجوه اشتراک بسیار زیاد این دو مساله خواننده را برای مطالعه برنامه ریزی نیمه معین آماده می کند.همچنین در قسمت ابتدایی متن مروری اجمالی بر روابط موجود میان ماتریس ها،بردارها و فضاهای اقلیدسی شده است.(به راستی از آن جایی که جبر خطی جز لاینفک  مفاهیم موجود در علم تحقیق در عملیات است،تسلط بر آن رمز موفقیت در مطالعه این شاخه نوپای ریاضی می باشد ).

پس از معرفی مساله برنامه ریزی نیمه معین با ارائه  مثال هایی کاربرد این مساله را در حل مسائل بهینه سازی شرح داده ایم و نیز در قسمتی از آن با بیان مساله برنامه ریزی خطی به عنوان حالت خاصی از مساله برنامه ریزی نیمه معین، عمومیت و سیطره آن بر مساله برنامه ریزی خطی(LP) بیش از پیش برای خواننده مشخص و معین شده است.

در ادامه به معرفی مساله دوگان مساله برنامه ریزی خطی نیمه معین و روابط میان جواب های این دو مساله به تفصیل پرداخته ایم .نکته جالب در این بخش شباهت های بسیار زیاد این روابط با قضایای ضعیف و قوی دوگانی مطرح شده در مسئله برنامه ریزی خطی می باشد.

در پایان گزارش به  بررسی مساله ای جالب و خواندنی در نظریه گراف اقدام شده است که شاید این مثال بار دیگر ارتباط تنگاتنگ شاخه های متفاوت ریاضی با یکدیگر را به اثبات برساند.

به دلیل آن که مساله برنامه ریزی برنامه ریزی نیمه معین را نمی توان به وسیله روش هایی مشابه روش سیمپلکس حل کرد و بیشتر از روش های نقطه درونی در حل آن استفاده می شود که همانا برای مطالعه آن ها  نیاز به دانستن مطالبی فراتر از سرفصل های ارائه شده در دوره کارشناسی ریاضی است،از ذکر آن ها در این گزارش خودداری شده است .در قسمت پایانی متن منابع استفاده شده در این پروژه که عموما مقالاتی مرتبط از سایت های دانشگاه های معتبر جهان می باشد ،ذکر شده اند.

امید است مطالب این گزارش بتواند تا حدی بازگوی کاربردهای بی شمار مساله برنامه ریزی نیمه معین باشند .

در پایان از زحمات بی دریغ دکتر محمدرضا پیغامی که نصایح و رهنمود های ایشان ما را به داشتن شهودی هر چه بهتر از دنیای ریاضیات کاربردی سوق می دهد،کمال تشکر را داریم.

شهریار میرزاده                      روزبه ابرازی             رضا دل ریش

فهرست مطالب

1 مقدمه............................................................................................................................... 4

2 مروری کوتاه بر برنامه ریزی خطی..................................................................................... 4

3 نکاتی پیرامون ماتریس ها و مخروط های نیمه معین.............................................................. 6

4 برنامه ریزی نیمه معین...................................................................................................... 8

5 دوگان مسئله  SDP.......................................................................................................... 11

6 خواص کلیدی مسائل برنامه ریزی خطی که به برنامه ریزی نیمه معین گسترش نمی یابند ....... 16

7 SDP در بهینه سازی تر کیبیاتی........................................................................................ 16

1 . 7   بیان SDP Relaxation  از مسئله برش یالی ماکسیمم.............................................. 16

منابع و مراجع................................................................................................................... 19